Paul Lockhart - Lời than vãn của một nhà toán học (Phần 3)

Chương trình học Toán

Thứ đau đớn nhất về cách toán dạy toán hiện nay ở trường học không phải ở thứ đang không có mặt - sự thật là chẳng có chút toán học thực sự nào được làm trong các lớp học cả - mà ở thứ đang thế chỗ của nó: một đống hổ lốn những thông tin sai sự thật có sức hủy diệt ghê gớm, vẫn được gọi là “chương trình học Toán”. Đã đến lúc ta cần phải nhìn nhận chính xác thứ các học sinh của chúng ta đang phải đối mặt - thứ các em được tiếp xúc dưới danh nghĩa toán học, và làm thế nào mà trong quá trình đó, các em lại có thể bị hủy hoại nhiều đến thế.

Điểm nổi bật nhất của thứ vẫn-được-gọi-là-Toán này chính là ở sự rập khuôn cứng nhắc của nó. Điều này đặc biệt đúng khi các em học lên cao dần. Từ trường học tới trường học, từ thành phố tới thành phố, từ bang này tới bang kia, những thứ giống hệt nhau đang được dạy và làm bằng những cách giống hệt nhau, theo thứ tự y hệt nhau. Không những không thấy khó chịu và căm phẫn vì chế độ độc tài chuyên chế này, nhiều người còn mặc nhiên chấp nhận thứ “mô hình chuẩn” trong chương trình dạy toán này như là một khái niệm đồng nghĩa với toán học.

Điều này có quan hệ mật thiết tới thứ tôi vẫn gọi là “hiệu ứng cái thang giả hiệu” - quan niệm cho rằng toán học có thể được sắp xếp thành một chuỗi trình tự các “chủ điểm”, mỗi cái lại theo cách nào đấy được coi là “nâng cao” hơn cái trước nó, như những bậc thang nối tiếp nhau. Hiệu ứng này sẽ khiến cho việc học Toán ở trường trở nên giống như một cuộc chạy đua giữa các học sinh - một vài em sẽ được coi là “vượt lên trước” so với các bạn mình, và các bậc phụ huynh sẽ luôn lo sợ là con mình sẽ bị “tụt lại phía sau”. Và chính xác thì cuộc chạy đua này sẽ dẫn về đâu? Thứ gì đang đợi các em học sinh ở vạch đích? Điều đáng buồn là nó chẳng dẫn về đâu cả. Đến cuối cùng, bạn đã bị ngăn cản đến với giáo dục toán học thực sự, mà chính bạn cũng không nhận ra được điều đó nữa.

Toán học thực sự không phải là một thứ đồ hộp bán sẵn - hoàn toàn không có thứ gì gọi là ý tưởng Đại số cấp II [1]. Những vấn đề sẽ đưa bạn đến nơi mà chúng muốn. Nghệ thuật không phải là một cuộc đua. “Hiệu ứng cái thang” là một ấn tượng sai lầm của chúng ta về môn học, và khi bước theo “chương trình chuẩn”, mỗi giáo viên chỉ càng làm củng cố thêm niềm tin vào ấn tượng sai lầm này, và tự ngăn cản chính mình nhìn nhận Toán như một thực thể, một khối kết cấu thống nhất và đơn nhất. Và như một kết quả, chúng ta có một chương trình học Toán hoàn toàn không có quan điểm lịch sử và thiếu một chủ đề thống nhất mạch lạc; một tổ hợp gãy vụn, rời rạc của đủ các loại chủ điểm và kỹ thuật, chúng chỉ có một điểm chung duy nhất là đều được đảm bảo đủ đơn giản để có thể quy được về theo các quy tắc bước-nối-bước mà thôi.

Thay vì tìm hiểm và khám phá, chúng ta có quy tắc và quy luật. Chúng ta chưa bao giờ được nghe một học sinh nói: “Em muốn thử xem nếu ta thử lũy thừa một số với số mũ âm thì có được không, và em đã phát hiện ra có một quy tắc rất đẹp là số làm theo cách này luôn nghịch đảo với số tạo ra theo cách lũy thừa thông thường!” [2] . Thay vào đó, chúng ta có các giáo viên và các thể loại sách giáo khoa giới thiệu “định nghĩa lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm” [3] như một thứ chân lý vĩnh cửu mà không hề nhắc gì đến những yếu tố thẩm mỹ đằng sau sự lựa chọn đó, hay thậm chí nhắc đến rằng nó chỉ là một sự lựa chọn.

Không có những vấn đề thực sự có ý nghĩa, những vấn đề sẽ có thể dẫn đường đến muôn vạn những ý tưởng đa dạng khác nhau, tới những lãnh địa chưa được khai phá của thảo luận và tranh luận, và tới cảm giác về một tư tưởng chủ đề thống nhất, hòa hợp trong toán học; thay vào đó chúng ta có hàng đống những bài tập tẻ ngắt và thừa thãi, chỉ chú tâm vào rèn luyện kỹ năng đang được học, và do vậy mất hẳn tính liên kết với những dạng thức khác của Toán như một thực thể thống nhất; và cả học sinh lẫn giáo viên đều chẳng biết chút gì về việc những “vấn đề” họ đang “giải quyết” từ chỗ quái nào mà ra hết.

Không có một nội dung với những vấn đề thật tự nhiên mà ở đó, học sinh có thể tự mình quyết định từ ngữ mình viết ra sẽ có ý nghĩa gì, biểu tượng mình sử dụng sẽ ký hiệu cho cái gì; thay vào đó các em phải chịu đựng hàng chuỗi những trình tự bất tận các “định nghĩa” máy móc và thiếu hấp dẫn. Chương trình học bị ám ảnh với những thuật ngữ và ký hiệu, những thứ gần như không có mục đích nào khác để tồn tại ngoài việc cho giáo viên một thứ để có thể kiểm tra các học sinh. Chẳng có nhà toán học nào trên thế giới lại phải bận tâm phân biệt những thứ vô ích như thế này: 2 ½ là một “hỗn số”; trong khi 5/2 là một “phân số có tử lớn hơn mẫu”. Vì Chúa, chúng nó bằng nhau cả mà! Chúng cùng là một con số, có cùng những tính chất và đặc tính hệt như nhau. Ai lại phải bận tâm đến việc dùng những từ như thế ngoài chương trình lớp bốn chứ?

Tất nhiên sẽ dễ hơn rất nhiều khi ta chỉ cần kiểm tra kiến thức của một người về các định nghĩa, thay vì khơi gợi ở họ cảm hứng để họ có thể tạo ra những thứ tuyệt đẹp và tự tìm ra được ý nghĩa cũng như cách hiểu của riêng mình. Kể cả nếu chúng ta có đồng ý rằng một “hệ từ vựng” chung cho toán học là cần thiết, ở đây cũng không được như vậy. Thật đáng buồn biết bao khi các học sinh lớp năm được dạy phải nói “quadrilateral” [4] thay vì “hình bốn cạnh”; nhưng lại chưa bao giờ có một lý do để được dùng những từ như “conjecture” (suy đoán) hay “counterexample” (phản ví dụ). Các học sinh cấp III phải học để biết cách dùng phép toán “sec”, “sec x”, mặc dầu nó cũng chỉ là một cách viết tắt cho phép cos nghịch đảo là [5] (một định nghĩa có sự thông minh ngang ngửa với việc quyết định dùng “&” thay cho “và”). Việc phương pháp viết tắt này – một sản phẩm của những bảng biểu hàng hải từ tận thế kỷ 15 – vẫn còn ở với chúng ta (trong khi những từ khác cùng thời như “versine” đều đã tuyệt chủng từ lâu) chỉ đơn giản là do một sự tình cờ của lịch sử, và ở trong thời đại mà tính toán hàng hải nhanh chóng và chính xác đã chẳng còn là vấn đề gì nữa, chúng hoàn toàn không còn giá trị nào hết đáng để giữ lại. Ấy vậy nhưng chúng ta vẫn nhồi đủ các loại thuật ngữ vô nghĩa đó vào các giáo trình toán, chẳng để làm gì cả.

Trong thực tế, chương trình học thậm chí còn không giống một trình tự các chủ điểm, hay ý tưởng; nó giống một trình tự của các biểu tượng hơn. Toán học có vẻ như bao gồm một danh sách mật về những biểu tượng bí ẩn và những quy tắc để có thể thao túng chúng. Các em nhỏ sẽ được giao cho “+” và “÷”. Chỉ khi đã lớn hơn các em mới được tin tưởng giao cho “√¯”, và rồi “x” và “y”; rồi mới đến phép giả kim kỳ bí của các loại ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn. Và cuối cùng, các em được truyền thụ cho phép dùng “sin”, “log”, “f_(x)” ; và nếu các em tỏ rõ được mình xứng đáng, “d” và “∫”. Tất cả, hoàn toàn không có lấy dẫu chỉ một trải nghiệm toán học thực sự có ý nghĩa nào.

Thứ chương trình này đã được đóng khung chắc chắn tới độ các giáo viên và nhà viết sách có thể yên tâm dự đoán, thậm chí trước hàng chục năm, việc các học sinh vẫn sẽ làm trong tương lai, chính xác đến từng trang, từng dạng bài tập một. Hoàn toàn không phải chuyện gì hiếm gặp khi một học sinh học năm hai giáo trình Đại số được yêu cầu phải tính [ f(x + h) – f(x) ] / h với một loạt các hàm f khác nhau, để đến khi học đến vi phân sau này, các em sẽ thấy là mình “đã được gặp nó” từ trước rồi. Hoàn toàn không có lý do nào được đưa ra (hay được mong chờ) cho việc tại sao một hỗn hợp các thể loại phép toán có vẻ rất ngẫu nhiên như thế lại có thể thú vị và hấp dẫn; mặc dù tôi khá chắc là sẽ có nhiều giáo viên cố gắng giải thích những ý nghĩa có thể có của một phép toán như vậy, và nghĩ rằng mình đang làm ơn cho các học trò, trong khi sự thực là họ chỉ đang cho các em thêm một dạng bài tập chán òm nữa để giải quyết quấy quá cho xong. “Họ muốn mình phải làm gì với cái này đây? Ô, chỉ cần áp dụng công thức là xong à? OK”.

Một ví dụ khác là việc huấn luyện học sinh trình bày thông tin theo những cách phức tạp không cần thiết, chỉ vì trong một tương lai xa xôi nào đấy chúng sẽ có ý nghĩa. Không biết có giáo viên dạy Toán cấp II nào hiểu dù chỉ một chút chút về việc tại sao anh ta bắt học sinh phải viết lại cụm “chữ số x nằm giữa 3 và 7” thành “|x - 5| < 2” không? Không lẽ những tác giả sách giáo khoa thiếu năng lực đến vô vọng này thực sự tin rằng mình đang giúp các học sinh bằng cách chuẩn bị trước cho chúng để một ngày, không, có lẽ là một vài năm, tới đây khi chúng phải xử lý những phép toán của hình học đa không gian hay những phép toán cao cấp khác hay sao? Tôi không nghĩ thế. Tôi tin rằng họ chỉ đơn giản đang “copy” lại lẫn nhau trong suốt hàng thập kỷ qua, có lẽ có thay đổi font chữ chỗ này một chút, in đậm chỗ kia một chút; và vênh váo lên tự hào khi một hệ thống trường học nào đấy sử dụng sách của họ, và vô tình trở thành đồng phạm với họ.

Toán học là về những vấn đề, và vấn đề phải được đặt làm trọng tâm trong sự học toán của mỗi học sinh. Mặc cho có khó khăn và ức chế đến đâu trong công việc sáng tạo, các học sinh và giáo viên vẫn luôn phải tham gia vào quá trình này - có ý tưởng, không có ý tưởng, tìm thấy những quy luật, đưa ra những suy đoán, đặt ra những ví dụ và phản ví dụ, thiết kế các lập luận, đóng góp và phê bình cho công trình của các bạn khác. Các kỹ thuật và phương pháp chuyên dụng sẽ xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình đó, như chúng đã làm trong lịch sử: không phải tách biệt, mà là liên hệ một cách mật thiết với, cũng như phát triển thêm từ vấn đề ban đầu mà từ đó đã làm nảy sinh ra chúng.

Các giáo viên ngôn ngữ biết rằng cách đánh vần và phát âm được học tốt nhất khi các học viên học đọc và viết. Các giáo viên lịch sử biết rằng ngày tháng và những cái tên sẽ hoàn toàn vô vị nếu bị tách ra khỏi những câu chuyện thực đằng sau mỗi diễn biến lịch sử. Tại sao giáo dục toán học lại cứ bị kẹt mãi ở thế kỷ 19 thế chứ? Hãy thử so sánh trải nghiệm của chính bạn khi học Đại số với những dòng hồi tưởng sau đây của Bertrand Russell [6] mà xem:

“Tôi bị bắt phải học thuộc lòng: ‘Bình phương của tổng hai số thì bằng với tổng các bình phương cộng hai lần tích hai số đó’ [7] . Tôi không hiểu dù chỉ một chút cái thứ này nghĩa là gì; và khi tôi không thể ghi nhớ chính xác các từ ngữ, người gia sư ném quyển sách vào đầu tôi, một việc hoàn toàn không giúp tôi nâng cao trí thông minh thêm được chút nào hết.”

Mọi thứ ngày nay có thực sự khác gì không?

SIMPLICIO: Tôi không nghĩ nói thế là công bằng. Chắc chắn các phương pháp dạy học đã phải tiến bộ hơn khi đó nhiều rồi chứ.

SALVIATI: Anh đang nói đến các phương pháp huấn luyện. Dạy học là một mối quan hệ phức tạp của con người; nó không cần có một phương pháp. Hoặc giả tôi nên nói, nếu anh cần đến một phương pháp thì có lẽ anh vẫn chưa đủ tốt với tư cách một giáo viên. Nếu anh không có đủ tình cảm với môn học của mình để có thể nói về nó bằng cách nói của chính anh, một cách tự nhiên và ngẫu hứng, vậy anh thực sự hiểu nó được bao nhiêu? Và nhân tiện nói đến chuyện bị kẹt ở thế kỷ 19, có đáng kinh ngạc không khi biết kiểu thiết kế chương trình học này đã kẹt ở tận thế kỷ 17? Cứ nghĩ đến hàng bao nhiêu những khám phá đáng kinh ngạc cũng như những cuộc cách mạng sâu sắc trong tư duy toán học đã xuất hiện trong suốt ba thế kỷ qua mà xem! Không hề có thêm một sự đề cập nào đến chúng, cứ như thể chúng chưa bao giờ tồn tại vậy.

SIMPLICIO: Nhưng không phải anh đang đòi hỏi quá nhiều từ các giáo viên toán sao? Anh mong chờ họ phải quan tâm đến từng cá nhân trong những lớp học hàng chục học sinh, hướng dẫn chúng để chúng tự tìm thấy con đường khám phá và sự khai sáng của riêng mình, và lại còn phải liên tục cập nhật để theo kịp những thay đổi mới nhất trong giới toán học nữa?

SALVIATI: Anh có mong chờ giáo viên mỹ thuật của anh phải quan tâm tới từng cá nhân, cho anh những khuyên hữu ích phù hợp với riêng anh trong hội họa không? Anh có kỳ vọng cô giáo ấy phải biết tất cả mọi thứ về giới hội họa trong suốt 300 năm vừa qua không? Nghiêm túc thì tôi không mong chờ hay kỳ vọng điều gì hết. Tôi chỉ ước gì giá họ được như vậy.

SIMPLICIO: Vậy tức là anh trách các giáo viên toán?

SALVIATI: Không, tôi trách cái nền văn hóa đã đẻ ra những người thầy giáo như thế. Những tên ác quỷ khốn khổ đó cũng đang cố hết sức họ có thể rồi, họ chỉ đang làm những thứ mà họ đã được huấn luyện để làm thôi. Tôi chắc chắn hầu hết trong số họ đều rất yêu quý học sinh và cũng thậm căm ghét thứ các em đang bị bắt phải trải qua. Họ biết từ tận trong tim mình rằng nó vô nghĩa và làm mất đi tất cả những giá trị thật quý báu ở các em. Họ chắc cũng có thể mơ hồ cảm thấy mình đang là một phần của một cỗ-máy-nghiền-nát-tâm-hồn khổng lồ; nhưng họ thiếu khả năng để hiểu được bản chất thật của nó, hay thậm chí chống lại nó. Họ chỉ biết là mình phải giúp các em “sẵn sàng cho năm học tiếp theo”.

SIMPLICIO: Anh thực sự nghĩ hầu hết các em học sinh sẽ có đủ khả năng đến mức có thể tạo ra được toán học của riêng mình ư?

SALVIATI: Nếu chúng ta thực sự tin rằng tư duy sáng tạo là quá “cao” với các em học sinh, và hầu hết chúng chắc sẽ không đủ khả năng đạt tới trình độ đó, vậy tại sao chúng ta vẫn cho chúng làm những bài văn hay viết những bài luận lịch sử về Shakespeare? Vấn đề không phải ở chỗ học sinh không có đủ khả năng, mà ở chỗ chẳng có giáo viên nào đủ khả năng cả. Họ chưa bao giờ tự mình chứng minh được một thứ gì, vậy làm thế nào mà họ có thể hướng dẫn các em làm thế? Với cả dù thế nào, sở thích và năng lực của các học sinh vẫn luôn rất đa dạng, môn học nào cũng vậy thôi; nhưng ít nhất học sinh nên có quyền được thích hay không thích môn Toán vì đúng bản chất của nó, chứ không phải vì một thứ mạo danh giả hiệu như đang được giảng dạy hiện nay.

SIMPLICIO: Nhưng chắc chắn chúng ta vẫn muốn các em được học một hệ thống các kiến thức và kỹ năng cơ bản nhất định nào đó chứ. Chương trình học ra đời là vì thế; và còn về việc tại sao nó lại luôn đồng nhất như nhau ở mọi nơi – chắc hẳn sẽ có những định lý luôn đúng mà các em học sinh cần phải biết chứ: một cộng một bằng hai, tổng ba góc trong một tam giác bằng 180^ochẳng hạn, những thứ tương tự như thế. Chúng đâu phải là các ý kiến, hay những cảm xúc nghệ thuật ủy mị nào.

SALVIATI: Ngược lại mới đúng. Các kết cấu Toán học, bất kể có hữu dụng trong thực tế hay không, đều được sáng tạo và phát triển nên từ những vấn đề; và ý nghĩa của chúng phát triển từ những vấn đề đó. Có những lúc chúng ta muốn một cộng một bằng không (trong toán học “mod 2” ); và trên bề mặt của một hình cầu tổng ba góc của một tam giác sẽ lớn hơn 180^o. Không có một thứ gì tự thân nó lại là “định lý” hết; tất cả mọi thứ đều liên hệ và tương quan với nhau. Cả câu truyện thì mới có ý nghĩa, chứ không chỉ mỗi phần kết của nó.

SIMPLICIO: Tôi mệt với mấy thứ ngớ ngẩn vớ vẩn này của anh lắm rồi! Đang nói toán học cơ bản, được chứ? Anh có đồng ý rằng học sinh nên được học nó không?

SALVIATI: Cái đó còn tùy xem định nghĩa của anh về “nó” là gì. Nếu ý anh là có một sự trân trọng đúng mức với những vấn đề của tính toán và sắp xếp, biết nhìn nhận đúng lợi thế của việc phân loại và đặt tên, nhưng cũng biết phân biệt rõ sự khác biệt giữa một vật thực sự với thứ đại diện cho nó; và có một chút hiểu biết về những diễn tiến lịch sử phát triển của các con số, thì có, tôi đồng ý. Và nếu ý anh là việc chỉ học thuộc lòng nhồi nhét 18 định lý và hằng đẳng thức mà không hề có một nhận thức sáng suốt dựa trên bằng chứng nào, thì không. Nếu ý anh là khám phá ra một sự thật không phải quá hiển nhiên rằng 5 nhóm mỗi nhóm 7 phần tử thì cũng giống với 7 nhóm mỗi nhóm 5 phần tử thì có, tôi đồng ý. Nếu ý anh là tạo ra một định luật rằng 5 x 7 = 7 x 5, vậy thì không. Làm toán nên luôn có nghĩa là tự khám phá ra những quy luật, và tạo ra những lời giải thích tuyệt vời, đẹp đẽ cho từng vấn đề.

SIMPLICIO: Thế còn Hình học thì sao? Chẳng phải ở đó học sinh được tự mình chứng minh các thứ ư? Không phải Hình học ở bậc phổ thông bây giờ là ví dụ hoàn hảo cho viễn cảnh một lớp học Toán thực sự mà anh đòi hỏi hay sao?

[1] Nguyên bản: “there is no such thing as an Algebra II idea”. Trong chương trình dạy Toán ở các nước phương Tây, học sinh cấp dưới sẽ được học “Algebra I”, sau đó khi lên cấp cao hơn, các em sẽ dần được học “Algebra II”, cao hơn nữa là “Algebra III”... đúng như một hệ thống các bậc thang, theo đó các kiến thức trong chuyên đề cấp dưới được sẽ được giảng dạy một cách “nâng cao” hơn ở cấp trên.

[2] Ví dụ, 2² = 4 ; nhưng nếu thay vì lũy thừa là số 2 (dương); ta cho lũy thừa là số – 2 (âm) ; ta có 2^{– 2} = ¼ ; từ đó mới ra được quy tắc khái quát: x^{– m} = 1/x^m.

Cũng xin giải thích thêm một chút: Tại sao 2^{– 2} = ¼ ? Ta vẫn biết ; điều này rất hợp logic vì ; nên ; tức

Tương tự, khi chia, ta có ; quy tắc ở đây bây giờ trở thành “hãy trừ hai số mũ cho nhau khi chia lũy thừa”, tất nhiên là các cơ số phải bằng nhau.

Nhưng thử xem, nếu vấn đề bây giờ lại là thì sao !? Nó sẽ trở thành ; tức theo đúng quy tắc ta vừa rút ra lúc nãy. Ta biết rằng ; hay chính là . Vậy kết luận là gì? và rốt cục cũng đều chỉ là một mà thôi!

(Lược dịch phần trả lời của thành viên Grampedo trên trang hỏi-đáp của Yahoo: http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20070815094429AAA5Ex1

[3] Xin trích nguyên văn phần này trong sách giáo khoa Toán lớp 12, bản Nâng cao, bài mở đầu chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit (trang 69) :

Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:

ĐỊNH NGHĨA 1:

Với , hoặc là một số nguyên âm, lũy thừa bậc của là số xác định bởi:

[4] Ở Việt Nam, may mắn thay không có nhiều rắc rối đến vậy. Học sinh ở các nước nói tiếng Anh được dạy phải gọi một hình có 4 cạnh là “quadrilateral” - một từ gốc Latin rất khó hiểu. Ở đất nước chúng ta, một hình có 4 cạnh, 4 góc, ta gọi nó là “hình tứ giác”, đơn giản vô cùng.

[5] Lại một lần nữa, may mắn thay ở Việt Nam không có sự thừa thãi phức tạp và vô ích này: các học sinh chúng ta không bao giờ phải học “sec x” ; khi cần sử dụng phép nghịch đảo “1 trên cos x”, các em chỉ việc viết luôn là xong.

[6] Bertrand Arthur William Russell, Bá tước Russell III, OM, FRS (18 tháng 5 năm 1872 – 2 tháng 2 năm 1970), là một triết gia, nhà lôgic học, nhà toán học người Anh của thế kỷ 20. Là một tác giả có nhiều tác phẩm, ông còn là người mang triết học đến với đại chúng và là một nhà bình luận đối với nhiều chủ đề đa dạng, từ các vấn đề rất nghiêm túc cho đến những điều trần tục. Nối tiếp truyền thống gia đình trong lĩnh vực chính trị, ông là một người theo chủ nghĩa tự do với vị thế nổi bật, ông còn là một người dân chủ xã hội (socialist) và người hoạt động chống chiến tranh trong phần lớn cuộc đời dài của mình. Hàng triệu người coi ông như là một nhà tiên tri của cuộc sống sáng tạo và duy lý; đồng thời, quan điểm của ông về nhiều chủ đề đã gây nên rất nhiều tranh cãi. ( Wikipedia ).

[7] Đây là một cách nói khác của hằng đẳng thức:

Nghĩ và viết